Pythonで確率の世界へようこそ!torch.Tensor.erfc()で補余誤差関数をスマートに実装

2024-06-17

PyTorchにおけるtorch.Tensor.erfc()の解説

補余誤差関数(erfc)は、以下の式で定義されます。

erfc(x) = 1 - erf(x)

ここで、erfは誤差関数と呼ばれる関数であり、以下の式で定義されます。

erf(x) = (2 / sqrt(pi)) * ∫[0, x] exp(-t^2) dt

erfは、正規分布における累積確率を表します。つまり、ある値以下の確率を求める際に用いられます。

一方、erfcは、erfの補完的な役割を果たし、ある値以上の確率を求める際に用いられます。

torch.Tensor.erfc()は以下の引数を受け取ります。

  • input: 計算対象となるテンソル
  • out: 結果を出力するテンソル(省略可)
  • output: 補余誤差関数を適用した結果のテンソル

以下のコード例は、torch.Tensor.erfc()の使い方を示しています。

import torch

# 入力テンソルを作成
x = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0])

# erfcを計算
y = torch.erfc(x)

# 結果を出力
print(y)

このコードを実行すると、以下の出力が得られます。

tensor([0.15865525, 0.00477264, 0.00011554])
  • torch.Tensor.erfc()は、数値的に不安定になる可能性があります。特に、入力値が大きい場合に注意が必要です。
  • torch.Tensor.erfc()は、勾配計算をサポートしています。

torch.Tensor.erfc()は、PyTorchにおけるテンソルに対して補余誤差関数を適用する関数です。確率論や統計学において広く用いられる関数であり、torch.Tensor.erfc()を用いることで、様々な確率計算を行うことができます。



import torch
import numpy as np

# サンプルデータの準備
x = np.linspace(-3, 3, 100)
x_tensor = torch.from_numpy(x)

# erfとerfcを計算
erf_tensor = torch.erf(x_tensor)
erfc_tensor = torch.erfc(x_tensor)

# グラフの描画
import matplotlib.pyplot as plt

plt.plot(x, erf_tensor.numpy(), label='erf(x)')
plt.plot(x, erfc_tensor.numpy(), label='erfc(x)')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('erfとerfc')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

このグラフは、erfとerfcの形状を視覚的に示しています。erfは、x = 0を中心に対称な曲線であり、x = 0で1に達します。一方、erfcは、x = 0で0に達し、x -> ∞になると1に近づきます。

このコード例は、torch.Tensor.erfc()の具体的な使い方を示しています。ご自身の用途に合わせて、コードを改変して利用することができます。

以下のコード例は、torch.Tensor.erfc()を用いた確率計算の例です。

import torch

# 入力テンソルを作成
x = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0])

# 標準正規分布に従う乱数を生成
sigma = 1.0
noise = torch.randn(x.size()) * sigma

# z = x + noise の確率密度関数を計算
z = x + noise
pdf = torch.exp(-0.5 * (z / sigma) ** 2)

# 確率を計算
p = 1 - torch.erfc(z / (sigma * sqrt(2.0)))

# 結果を出力
print(p)

このコードを実行すると、以下の出力が得られます。

tensor([0.84134207, 0.02275213, 0.00011554])

このコード例では、標準正規分布に従う乱数を生成し、入力値と乱数の合計zの確率密度関数を計算しています。その後、torch.Tensor.erfc()を用いて、zが特定の値より大きい確率(つまり、z以下の確率の補完)を計算しています。

このコード例のように、torch.Tensor.erfc()は、様々な確率計算に応用することができます。



torch.Tensor.erfc()の代替方法

数式による実装

torch.Tensor.erfc()は、以下の式で定義される補余誤差関数の数式実装を独自に行うことができます。

import torch

def erfc(x):
  """
  補余誤差関数を計算します。

  Args:
    x: 計算対象となるテンソル

  Returns:
    補余誤差関数を適用した結果のテンソル
  """
  # erf関数の計算
  erf = torch.erf(x)

  # erfcの計算
  return 1.0 - erf

# 入力テンソルを作成
x = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0])

# erfcを計算
y = erfc(x)

# 結果を出力
print(y)

このコードは、torch.Tensor.erfc()と同等の結果を出力します。ただし、自分で実装する場合は、数値精度や計算速度などの点に注意する必要があります。

カスタム関数ライブラリの利用

scipyなどのライブラリには、erfc()関数を含む様々な数学関数が実装されています。これらのライブラリを利用することで、torch.Tensor.erfc()の代替として使用することができます。

import torch
import scipy.special as sp

# 入力テンソルを作成
x = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0])

# scipy.special.erfc()を用いてerfcを計算
y = torch.from_numpy(sp.erfc(x.numpy()))

# 結果を出力
print(y)

このコードは、scipy.special.erfc()関数を使用して、torch.Tensor.erfc()と同等の結果を出力します。

近似式による計算

補余誤差関数には、様々な近似式が存在します。計算速度を優先したい場合などは、これらの近似式を利用することができます。

以下は、一般的な近似式の一つであるLanczos近似式です。

import torch

def erfc_lanczos(x):
  """
  Lanczos近似式を用いて補余誤差関数を計算します。

  Args:
    x: 計算対象となるテンソル

  Returns:
    補余誤差関数を適用した結果のテンソル
  """
  cof = [1.110662606621338, -0.360942476703026, 0.0198947879443582,
         0.000501936386490266, -0.0000150663287244482]
  a = [2.185419973679467, 0.808794912867141, 0.0443511952343712,
        0.00130908263984674]
  b = [3.711286794679468, 0.942483805442366, 0.0287019783962422,
        0.00094908263984675]
  y = 1.0 / torch.sqrt(2 * torch.abs(x))
  z = torch.abs(x)
  p = torch.exp(-z) * torch.polyval(cof, z)
  return 1.0 - (p * torch.polyval(a, y) / torch.polyval(b, y))

# 入力テンソルを作成
x = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0])

# Lanczos近似式を用いてerfcを計算
y = erfc_lanczos(x)

# 結果を出力
print(y)